Funciones reales de variable real

Cómo no he podido asistir hoy a clase, cuelgo la prueba que debería haber entregado:

1- Usa geogebra para saber como es la gráfica de una función cúbica:

 

He cogido como ejemplo la siguiente función, y así es la gráfica que me ha salido: 

 

3- ¿La factorización de un polinomio esta relacionada con los ceros de la correspondiente función polifónica?

Sí, está relacionada ya que al factorizar estamos obteniendo divisores, es decir, factores y estos factores son los ceros de la función.
 

Factor - raíz por ejemplo: x+3 (factor) - la raíz/cero es -3

4- Factoriza y dibuja la gráfica:

5- ¿Es inyectiva? ¿Cuál es su expresión algebraica?

No es inyectiva ya que para dos puntos diferentes NO puede haber una misma imagen, como ocurre en esta.

Su expresión algebraica es la siguiente:

6- ¿Hay funciones cúbicas inyectivas?

Si, un ejemplo es la siguiente:

7- Relación entre monotonía e inyectividad:

Podríamos relacionarlo diciendo que una función es estrictamente creciente/decreciente cuando es inyectiva, si NO es estrictamente creciente/decreciente, tampoco es inyectiva.

8- Relación entre las monotonías de una función y su recíproca:

 

Como hemos comentado en clase, la recíproca de una función tiene que ser simétrica con respecto a la bisectriz y, por tanto, concluyo que su monotonía debe ser la misma.

9- Relación de las gracias de una función f y de la función kf donde k es constante:

 

Creo que no termino de entender muy bien este problema, pero como en la función f a cada elemento x le corresponde un elemento f(x), se tiene que llegar a cortar con la función constante en algún momento.

OPINIÓN - "¡El profesor DEBE enseñar claramente qué hay que hacer y cómo hay que hacerlo...!"

Voy a dar mi opinión respecto a:

"¡El profesor DEBE enseñar claramente qué hay que hacer y cómo hay que hacerlo en lugar de hacer que los alumnos intenten descubrirlo por ellos mismos! ¿Resuelto el aprendizaje escolar?"

Yo no estoy de acuerdo con que el profesor deba enseñar a hacer las cosas tal y como él mande, pero si que creo que los profesores deberían enseñar a los alumnos a ser críticos y a cuestionarlo todo, para que no se dejen llevar por lo que otros puedan decirles, y para que sean capaces de sacar sus propias conclusiones y no dejarse engañar. 

Creo que para que un alumno aprenda algo, es necesario que de verdad le interese ese algo y si le dan todo hecho, de manera que tenga que aceptarlo como tal, puede que tarde o temprano pierda el interés. 

Poniendo un ejemplo que ahora mismo pasaría en la mayoría de institutos:

Si un profesor de matemáticas, por ejemplo, resuelve un ejercicio mal a propósito pero asegura a sus alumnos que es así como se resuelve, estoy segura que la mayoría de ellos lo copiarían y aceptarían que el ejercicio se resuelve de dicha manera, ninguno se iba a parar a pensar ¿Y si lo que nos está diciendo o enseñando es mentira?

Bueno, pues yo creo que eso puede pasar en cualquier momento y situación, no solo en una clase, y también creo que para no sumirse en la ignorancia es necesario ser crítico, y eso es algo que sí que  deberían enseñar, dejar pensar al alumno por sí mismo.

Eugène Charles Catalan

Fue un matemático belga, profesor en la Universidad de Lieja y miembro de la Academia de Bruselas. Sus trabajos versaron sobre análisis matemático, geometría y cálculo integral. Escribió Elementos de geometría y Tratado elemental de las series.

Tiene gran importancia su resolución del problema:

"Tenemos letras dispuestas en forma de palabra en un cierto orden. Deseamos añadir pares de paréntesis en esta palabra de forma que dentro de cada par de paréntesis caigan dos términos. Estos dos términos pueden ser dos letras juntas, una letra junto con un grupo encerrado ya entre paréntesis o dos grupos contiguos. ¿De cuántas formas podemos realizar esta tarea?"

He encontrado una página donde explican bastante bien de donde viene la sucesión 1,2,5,14,42,132... y también la resolución de dicho problema, este es el link:

https://www.gaussianos.com/los-numeros-de-catalan/

Post-evaluación

He visto que el examen corregido cumplía mis expectativas de nota más o menos. Los fallos que he tenido los he entendido y me ha producido bastante satisfacción saber que he podido sacar más de la mitad del examen bien, pensando por mí misma. 

Aún así, me ha vuelto a pasar que con el primer apartado del ejercicio tres me he bloqueado y no lo he intentado, cosa que me pasó con el ejercicio 10 del anterior, y me fastidia porque al final resulta ser sencillo y me gustaría poder haberlo resuelto antes. 

La mayoría de los otros ejercicios eran similares a los del anterior examen por lo que los he sacado fácilmente, ya que tras repetir el anterior los entendí. 

En definitiva, estoy contenta y con ganas de mejorar mis resultados.

Recuperación 1ª evaluación - ejercicio 5

Recuperación 1ª evaluación - ejercicio 4

Recuperación 1ª evaluación - ejercicio 3

Recuperación 1ª evaluación - ejercicio 2

Recuperación 1º evaluación - ejercicio 1

Preevaluación del examen de recuperación

La verdad es que me ha salido bastante mejor que el primer examen que hice. Estaba más tranquila y pude pensar los ejercicios de una manera mas calmada. El primer ejercicio no lo tenia muy claro y lo deje para el final, pero creo que aún así lo hice mal. El último ejercicio me resultó bastante fácil, por lo menos la primera parte, ya que después de ver la corrección del primer examen, lo entendí con claridad. En resumen, estoy contenta de que mis resultados vayan a mejorar algo con respecto al primer examen, aunque siempre puedo mejorar.

Problemas matemáticos irresueltos

Ya que en el libro que he leído hablan sobre los tres grandes problemas matemáticos irresueltos, he buscado algo de información sobre ellos que voy a comentar.

- El último teorema de Fermat:

"No existe ningún número entero positivo mayor que 2 que satisfaga la ecuación an + bn = cn”

Fermat afirmaba que lo había probado pero que no tenía espacio para escribirlo, desde 1642 nadie ha podido resolverlo, hasta 1993 año en el que Andrew Wiles expuso la demostración de este teorema.

- La hipótesis de Riemann:

En matemáticas puras, la hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s).

El Instituto Clay de Matemáticas ha ofrecido un premio de un millón de dólares a la primera persona que desarrolle una demostración correcta de la conjetura. El matemático Sir Michael Atiyah, ganador del premio Abel y la medalla Fields asegura haber encontrado una solución al problema, aunque aún no se ha comprobado si es correcta.

La verdad es que el enunciado de estos dos problemas no lo comprendo muy bien.

- La conjetura de Goldbach:

De la cual se habla constantemente en el libro.

"Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos."

El enunciado es simple y fácil de entender pero desde 1742 nadie ha sido capaz de demostrarlo.

Comentario parte III - El tío Petros y la conjetura de Goldbach

Quiero empezar comentando que me ha gustado la fábula de las uvas verdes porque lo que nos quiere dar a entender, que es una excusa para el fracaso, sucede en el día a día.

Me ha llamado mucho la atención lo de que la gente no soporta demasiada realidad, puede que en el fondo sea verdad, que el llegar a la verdad sea abrumador, siempre he oido y estoy de acuerdo con ello, que cuanto más ignorante es alguien, más feliz vive, pero también me planteo hasta que punto es buena la ignorancia.
 
También destacar la gran lección que se supone que ha aprendido el sobrino, que es la siguiente:

 

"Uno no debía ser despiadadamente sincero consigo mismo en lo referente a sus debilidades, admitidas con valor y escoger su camino en consecuencia."

 

Creo que por una parte tiene razón, ya que hay veces que por mucho esfuerzo y dedicación que pongas respecto algo, no de sus frutos completamente y eso te puede llevar a la desesperación.

 

Por último, decir que el final me ha parecido un poco agridulce, la locura del tío Petros me ha dejado con mal sabor de boca, pero a su vez ha tenido una muerte más o menos satisfactoria, pensando que había hecho lo que más deseaba en el mundo, que era resolver la conjetura de Goldbach y eso lo alivia un poco.

Comentario parte II - El tío Petros y la conjetura de Goldbach

De esta segunda parte, en la que se describe la vida de Petros, tengo que decir que me ha parecido bastante triste, porque no termino de entender como alguien, en este caso Petros, puede tener tanta obsesión, afición, o llamémoslo como queramos, por algo hasta el punto de dedicarse plenamente a ello, sinceramente me parece surrealista que su vida se basase durante tantos años en demostrar dicha conjetura aislado de todo y de todos (a excepción de los años en los que se distraía con el ajedrez), a mi sin duda sería una vida que no me gustaría llevar. Además como bien se decía en el libro, sus años más felices eran aquellos en los que disfrutaba impartiendo clases, relacionándose con Hardy y Littlewood..., y no los que pasaba aislado.

Dejando a un lado ese tema, algo muy curioso que daban a entender en algunas ocasiones es que tratan a los números de una manera peculiar, como si tuvieran personalidad, como si fueran personas además de comentar que hay modas matemáticas, lo cual ni se me había pasado por la cabeza.
Dos de las frases que más me han gustado y que pienso que pueden aportar sentimientos positivos si te paras a pensarlas son las siguientes:

"Más vale pájaro en mano que ciento volando, (y mientras yo perseguía a los cien, perdí el que tenía...)"

"Las grandes verdades de la vida son simples"

Estoy totalmente de acuerdo con ambas.

Hay algo que me parece muy curioso, y es que después de tantas horas, días y años de dedicación por parte de Petros a la conjetura de Goldbach, ¿no llegó a plantearse en ningún momento que puede que la verdad no sea demostrable? Es muy raro que solo lo advirtiera cuando fue probado por Gödel.

 

Por último, al ponerme en el lugar del sobrino tras saber la historia de Petros, mi reacción habría sido parecida, aunque él lleve la razón, es normal que se enfade cuando te dicen que no vales para aquello a lo que te gustaría dedicarte.

Comentario parte I - El tío Petros y la conjetura de Goldbach

Voy a realizar mi comentario en tres partes, que coinciden con las del libro:
I - Mi destino, II - La Historia de Petros Papachristos y III - De Vuelta a Estados Unidos

De esta primera parte del libro me han llamado la atención multitud de cosas, además, hay ciertos comentarios que me han hecho pararme a pensar y replantearme algunas cosas, como el siguiente:
 

"Mientras sus hermanos estudiaban, se casaban, tenían hijos y dirigían el negocio de la familia, desaprovechando su vida junto con el resto de la humanidad anónima en las rutinas diarias de la subsistencia, la procreación y el ocio, él, como un Prometeo redivivo, se esforzaba por echar luz sobre el más oscuro e inaccesible rincón del conocimiento"

 

Lo que yo pensé al leer esto (y sigo pensando) es:

¿quién es el que determina que alguien esta desaprovechando su vida? 

No estoy nada de acuerdo con las ideas de este párrafo, puede que una persona aspire a aquello que uno considera que es "desaprovechar su vida" y sea feliz con eso, mientras que como bien dice el texto, otra persona quiera profundizar más sobre el conocimiento y eso sea lo que le conduzca a la satisfacción y felicidad.

 

También me llamó la atención la pregunta que Petros le hace a su sobrino:

 

"¿Qué sabes de matemáticas?"

 

Según lo iba leyendo me lo planteé a mi misma y me respondí bastante rápido, no se prácticamente nada, además, si no es la misma pregunta es una básicamente igual la que nos planteó nuestro profesor de matemáticas durante las primeras clases del curso. Eso sí, cuanto más sé sobre ellas, más me doy cuenta de lo poco que sé y de lo complejas que me parecen.

 

También voy a comentar algo que pasa en incontables ocasiones, que mencionan en el libro, y que realmente detesto, y es que muchas veces nos inculcan o determinan valores sobre alguien, y hablo de los negativos en particular, y nos hacen creer que esa persona es así sin darnos pie a que la conozcamos y juzguemos por nosotros mismos, es algo que me fastidia y sobre todo si la persona que juzga no sabe realmente como es el juzgado, que es lo que ocurre con la familia Papachristos.

En esta parte, también hay algo que me ha gustado bastante, y es el mensaje que se transmite cuando el sobrino cambia a la facultad de matemáticas, dejando ver (según como yo lo he interpretado) que nunca es tarde si realmente hay pasión en lo que pretendes conseguir, ya que a muchísima gente le ocurre que pierde oportunidades por el simple hecho de que piensan que ya es tarde para hacer algo, tiempo para arrepentirse hay y mejor eso que quedarse con las ganas.

Quiero destacar la intriga que me produce la historia de Petros y también admiración por este personaje al llevar su vida tan en secreto, es algo que valoro ya que a mi me resultaría muy muy difícil, aunque en mi opinión no es lo mejor que se puede hacer.

 

Y por último quería mencionar que me ha sorprendido la cantidad de matemáticos que han nombrado (y eso que solo es la primera parte) y los cuales no conocía.